Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \ln (x)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Nega l'esponente di $e^{u_{1}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- 1 u_{1}$ come $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = u_{1}$ e $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ come $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ come $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Somma $- u_{1} e^{u_{2}}$ e $e^{u_{2}} u_{1}$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Riordina $e^{u_{2}}$ e $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 5.3.1.2

Somma $- u_{1} e^{u_{2}}$ e $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $C$ .

$C$