Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $\frac{1}{2}$ e per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per ${(\frac{1}{2})}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.1

Eleva $\frac{1}{2}$ alla potenza di $1$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Passaggio 5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $2$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Forma decimale:

$0.125$