Calcolo Esempi

$\int \frac{9 r^{2}}{\sqrt{1 - r^{3}}} d r$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - r^{3}$ . Allora $d u = - 3 r^{2} d r$ , quindi $\frac{1}{- 3 r^{2}} d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - r^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - r^{3}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- r^{3}$ rispetto a $r$ è $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 r^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 r^{2}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $3 r^{2}$ da $0$ .

$- 3 r^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 3}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{3}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{3}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.3

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.4

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Riscrivi $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ come $- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - r^{3}$ .

$- 6 {(1 - r^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$