Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\ln (| u |)$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 5.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Passaggio 5.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimale:

$0.34657359 \dots$