Calcolo Esempi

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Passaggio 1.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Passaggio 1.5

Sottrai $3$ da $4$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Riordina $u^{\frac{3}{2}}$ e $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 8.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.5

Somma $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.6.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.7.2

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 8.8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 8.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Passaggio 8.8.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Passaggio 8.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Passaggio 8.9.2

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Passaggio 8.10

Somma $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Passaggio 8.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Passaggio 8.11.2

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Passaggio 8.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Passaggio 8.11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.4.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Passaggio 8.11.4.2

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{12}{5}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{12}{5}$

Forma decimale:

$2.4$

Forma numero misto:

$2 \frac{2}{5}$