Calcolo Esempi

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

Passaggio 1

Sia $u = 2 t^{3} + 8$ . Allora $d u = 6 t^{2} d t$ , quindi $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 t^{3} + 8$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{3} + 8$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$6 t^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $6 t^{2}$ e $0$ .

$6 t^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{6}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

$\frac{3}{6}$ e $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $u^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $3$ da $6 u$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$