Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 3$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Passaggio 6

Calcola $- u^{- 1}$ per $6$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Passaggio 8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Passaggio 9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Passaggio 9.3

Somma $- 1$ e $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{5}{12}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{12}$

Forma decimale:

$0.41\overline{6}$