Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Allora $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.6.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

Passaggio 1.1.6.2

Somma $9 x^{2} + 12 x + 3$ e $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$