Calcolo Esempi

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

Passaggio 2

Espandi ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(u - 1)}^{2}$ come $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Passaggio 2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Passaggio 2.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Passaggio 2.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.8

Riordina $u$ e $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.9

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.10

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.14

Somma $2$ e $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.15

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.16

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.18

Somma $1$ e $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.19

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.20

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.22

Somma $1$ e $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.23

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

Passaggio 2.24

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

Passaggio 2.25

Sottrai $u^{4}$ da $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$