Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} - 2)}^{2}}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(u_{1} - 2)}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = u_{1} - 2$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 2$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Sia $u_{3} = u_{2} + 2$ . Allora $d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{3} = u_{2} + 2$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $u_{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{2} + 2$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} - 2)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${(u_{3} - 2)}^{2}$ come $(u_{3} - 2) (u_{3} - 2)$ .

$\int (u_{3} - 2) (u_{3} - 2) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 5.2