Calcolo Esempi

\int cos (ln (x)) d x

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sia

u = ln (x)

$u = \ln (x)$ . Allora

d u = \frac{1}{x} d x

$d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi

x d u = d x

$x d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

\int e^{u} cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Passaggio 3

Riordina

e^{u}

$e^{u}$ e

cos (u)

$\cos (u)$ .

\int cos (u) e^{u} d u

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , dove

w = cos (u)

$w = \cos (u)$ e

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Passaggio 5

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica

\int e^{u} (sin (u)) d u

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ per

1

$1$ .

cos (u) e^{u} + \int e^{u} (sin (u)) d u

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 6.3

Riordina

e^{u}

$e^{u}$ e

sin (u)

$\sin (u)$ .

cos (u) e^{u} + \int sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

cos (u) e^{u} + \int sin (u) e^{u} d u

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , dove

w = sin (u)

$w = \sin (u)$ e

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u} - \int e^{u} cos (u) d u

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Passaggio 8

Risolvendo

\int e^{u} cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$ , troviamo che

\int e^{u} cos (u) d u

$\int e^{u} \cos (u) d u$ =

\frac{cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u}}{2}

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

\frac{cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u}}{2} + C

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Passaggio 9

Riscrivi

\frac{cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u}}{2} + C

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ come

\frac{1}{2} (cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

\frac{1}{2} (cos (u) e^{u} + sin (u) e^{u}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{1}{2} (cos (ln (x)) e^{ln (x)} + sin (ln (x)) e^{ln (x)}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

\frac{1}{2} (cos (ln (x)) x + sin (ln (x)) e^{ln (x)}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 11.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

\frac{1}{2} (cos (ln (x)) x + sin (ln (x)) x) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$

\frac{1}{2} (cos (ln (x)) x + sin (ln (x)) x) + C

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$