Calcolo Esempi

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Allora $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 x + 6$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{6}$ e $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ e $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ come $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

Passaggio 7

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

Passaggio 7.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$