Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ come $u - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u - 1}$ come ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Espandi $(u - 1) u^{- \frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5.6

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{2}{3}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - \int u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

$\frac{3}{5}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Passaggio 12.1.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2}) + C$

Passaggio 12.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Passaggio 12.3

Per scrivere $- \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 12.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $10$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 5}) + C$

Passaggio 12.4.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10}) + C$

Passaggio 12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Passaggio 12.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.6.1

Scomponi $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ da $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5$ .

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Passaggio 12.6.1.1

Riordina l'espressione.

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Passaggio 12.6.1.1.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Passaggio 12.6.1.1.2

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Passaggio 12.6.1.2

Scomponi $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ da $3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Passaggio 12.6.1.3

Scomponi $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ da $- 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.1.4

Scomponi $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ da $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1 \cdot 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.6.3.1

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{1} - 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.3.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 (x^{2} + 1) - 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 - 5)}{10} + C$

Passaggio 12.6.4

Sottrai $5$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{10} + C$

Passaggio 12.7

Combina.

$\frac{1 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3))}{2 \cdot 10} + C$

Passaggio 12.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{2 \cdot 10} + C$

Passaggio 12.9

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{20} + C$