Calcolo Esempi

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Passaggio 1.3

Somma $2$ e $2$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

Passaggio 1.5

Somma $7$ e $2$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ per $9$ e per $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Passaggio 8.2

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

$\frac{2}{5}$ e $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $2$ per $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Moltiplica $32$ per $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.6.2

$- 32$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.6.3

Moltiplica $- 32$ per $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.7.2

Sottrai $64$ da $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.8.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.3

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.3.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.9.3.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 8.10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 8.10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 8.10.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Passaggio 8.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.11.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 8.11.2

$- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Passaggio 8.11.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Passaggio 8.11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Passaggio 8.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.12.1

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Passaggio 8.12.2

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Passaggio 8.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Passaggio 8.12.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.12.4.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Passaggio 8.12.4.2

Sottrai $16$ da $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Passaggio 8.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.13.1

$- 2$ e $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Passaggio 8.13.2

Moltiplica $- 2$ per $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Passaggio 8.13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Passaggio 8.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.14.1

Per scrivere $\frac{422}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Passaggio 8.14.2

Per scrivere $- \frac{76}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 8.14.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.14.3.1

Moltiplica $\frac{422}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 8.14.3.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 8.14.3.3

Moltiplica $\frac{76}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Passaggio 8.14.3.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Passaggio 8.14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Passaggio 8.14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.14.5.1

Moltiplica $422$ per $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Passaggio 8.14.5.2

Moltiplica $- 76$ per $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Passaggio 8.14.5.3

Sottrai $380$ da $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{886}{15}$

Forma decimale:

$59.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$59 \frac{1}{15}$