Calcolo Esempi

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 1) u^{3} d u$

Passaggio 2

Moltiplica $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $u$ per $u^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $u$ per $u^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 3.2

Riscrivi $- 1 u^{3}$ come $- u^{3}$ .

$\int u^{4} - u^{3} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$