Calcolo Esempi

$\int \cos^{-1} (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos^{-1} (x)$ e $d v = 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Passaggio 2

$x$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos^{-1} (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ per $1$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos^{-1} (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\cos^{-1} (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 9.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 9.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 11

Riscrivi $\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$