Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sia $x = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Passaggio 5

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Passaggio 6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 11

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$- t + \tan (t) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$