Calcolo Esempi

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi il polinomio.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Passaggio 1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $16$ è costante rispetto a $u$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $16 (- u^{- 1} + C)$ come $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 6.2.2

$- 16$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$