Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Passaggio 1

Sia $u = 4 + r^{2}$ . Allora $d u = 2 r d r$ , quindi $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 + r^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + r^{2}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $2 r$ .

$2 r$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $r$ in $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $r$ in $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{5}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Passaggio 6

Calcola $- u^{- 1}$ per $5$ e per $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Passaggio 7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Passaggio 8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Passaggio 9

Somma $- \frac{1}{5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $0$ .

$0$