Calcolo Esempi

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Allora $d u_{2} = - d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- u_{1} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$- 1 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int - {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- - \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Sia $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Allora $d u_{3} = - d u_{2}$ , quindi $- d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $- u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2} + 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- u_{2} + 1$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 7.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $- u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$- 1 + 0$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int - {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi ${(- u_{3} + 1)}^{2}$ come $(- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1)$ .

$- \int (- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 9.2