Calcolo Esempi

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Passaggio 1

Sia $u = z^{2}$ . Allora $d u = 2 z d z$ , quindi $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = z^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d z}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 z$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u}}^{6}$ come $u^{3}$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sqrt{u}}^{8}$ come $u^{4}$ .

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Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Passaggio 3

Espandi $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Passaggio 3.2

Riordina $u^{3}$ e $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Passaggio 3.3

Riordina $u^{3}$ e $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Passaggio 3.5

Somma $3$ e $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ come $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$