Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \sin (θ)$ . Allora $d u = \cos (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \sin (θ)$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Passaggio 4

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.4

Somma $2$ e $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Passaggio 7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forma decimale:

$0.82842712 \dots$