Calcolo Esempi

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$7$ e $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{7}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{7}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 10.1.3.1

Scomponi $8$ da $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $2$ da $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.4

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.5

$\frac{7}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Passaggio 10.6

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$