Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ come $\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$