Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x^{4} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 3° ordine, sono necessari $3$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Dividi $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ per $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.5

Espandi $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Somma $2 x^{3} + 2 x$ e $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.6.2.4

Somma $2 x^{3}$ e $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $A (x^{3} - 4)$ per $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{3} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B x^{2} + C x + D) (x)$ per $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Passaggio 1.1.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1.1

Sposta $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Passaggio 1.1.7.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Passaggio 1.1.7.6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Passaggio 1.1.7.6.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Passaggio 1.1.7.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.2.1

Sposta $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Passaggio 1.1.7.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Passaggio 1.1.8

Sposta $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = D$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = - 4 A$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = - 2$ .

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = - 2$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $2 = \frac{1}{2} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} + B = 2$ .

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Somma $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $x$ da $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.2.1

Scomponi $x$ da $\frac{3}{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.1.2.2

Scomponi $x$ da $0 \cdot x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.1.2.3

Scomponi $x$ da $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.1.3

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.1.4

Somma $\frac{3 x}{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.2

$x$ e $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{3 x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x^{3} - 4$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = x^{3} - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$