Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - 2 x^{2}$ . Allora $d u = - 4 x d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 4 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $4 x$ da $0$ .

$- 4 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (- u + 1)}$ come ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 (- u + 1)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.2

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.4

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4.5

$\frac{- u + 1}{2}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.4.6

Sposta $u^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 6.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Espandi $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.8

Moltiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.9

Riordina $- u^{\frac{1}{2}}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.1.1

${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Passaggio 14.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 14.3

$2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 14.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 14.6

Moltiplica $- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

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Passaggio 14.6.1

Moltiplica $\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

Passaggio 14.6.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$