Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $5$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{4}$ e $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Passaggio 5.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Passaggio 5.4.3.2

Sottrai $1$ da $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune di $624$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Scomponi $4$ da $624$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Passaggio 5.4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Passaggio 5.4.3.3.2.4

Dividi $156$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Passaggio 5.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

$\frac{1}{2}$ e $156$ .

$\frac{156}{2}$

Passaggio 5.4.4.2

Elimina il fattore comune di $156$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $156$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Passaggio 5.4.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Passaggio 5.4.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{78}{1}$

Passaggio 5.4.4.2.2.4

Dividi $78$ per $1$ .

$78$