Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ come $u - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u - 1}$ come ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{u - 1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Passaggio 4

Dividi $u - 1$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Passaggio 4.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Passaggio 4.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Passaggio 4.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Passaggio 4.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Passaggio 4.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 11.2.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$