Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} + 8$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} + 8$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} + 8$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 8$ e $8$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} + 8$ .

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $64$ e $8$ .

$u_{upper} = 72$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$u^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $72$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.2

Eleva $72$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$\frac{1}{3}$ e $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $373248$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $3$ da $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.3.2.2.4

Dividi $124416$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 5.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

Passaggio 5.6

Somma $124416$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{3}$ e $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune di $124416$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $3$ da $124416$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{41472}{1}$

Passaggio 5.7.2.2.4

Dividi $41472$ per $1$ .

$41472$