Calcolo Esempi

\int e^{- x} tan (e^{- x}) d x

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

Passaggio 1

Sia

u_{1} = - x

$u_{1} = - x$ . Allora

d u_{1} = - d x

$d u_{1} = - d x$ , quindi

- d u_{1} = d x

$- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando

u_{1}

$u_{1}$ e

d

$d$

u_{1}

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

u_{1} = - x

$u_{1} = - x$ . Trova

\frac{d u_{1}}{d x}

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- x

$- x$ rispetto a

x

$x$ è

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando

u_{1}

$u_{1}$ e

d u_{1}

$d u_{1}$ .

\int - e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

\int - e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

u_{1}

$u_{1}$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

- \int e_{1}^{u_{1}} tan (e_{1}^{u_{1}}) d u_{1}

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3

Sia

u_{2} = e_{1}^{u_{1}}

$u_{2} = e^{u_{1}}$ . Allora

d u_{2} = e_{1}^{u_{1}} d u_{1}

$d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi

\frac{1}{e_{1}^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}

$\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando

u_{2}

$u_{2}$ e

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

u_{2} = e_{1}^{u_{1}}

$u_{2} = e^{u_{1}}$ . Trova

\frac{d u_{2}}{d u_{1}}

$\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$ .

\frac{d}{d u_{1}} [e_{1}^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d u_{1}} [a_{1}^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è

a_{1}^{u_{1}} ln (a)

$a^{u_{1}} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando

u_{2}

$u_{2}$ e

d u_{2}

$d u_{2}$ .

- \int tan (u_{2}) d u_{2}

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

- \int tan (u_{2}) d u_{2}

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di

tan (u_{2})

$\tan (u_{2})$ rispetto a

u_{2}

$u_{2}$ è

ln (| sec (u_{2}) |)

$\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

- (ln (| sec (u_{2}) |) + C)

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

- ln (| sec (u_{2}) |) + C

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{2}

$u_{2}$ con

e_{1}^{u_{1}}

$e^{u_{1}}$ .

- ln (| sec (e_{1}^{u_{1}}) |) + C

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{1}

$u_{1}$ con

- x

$- x$ .

- ln (∣ ∣ sec (e^{- x}) ∣ ∣) + C

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$

- ln (∣ ∣ sec (e^{- x}) ∣ ∣) + C

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$