Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Allora $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Nega l'esponente di $e^{u_{1}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 4.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi $- 1 u_{1}$ come $- u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $e^{- u_{1}}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = - u_{1}$ . Allora $d u_{2} = - d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = - u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$