Calcolo Esempi

$\int \frac{12 x^{2}}{4 x^{3} - 6} d x$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $12$ e $4 x^{3} - 6$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $12 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{4 x^{3} - 6} d x$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) - 6} d x$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)} d x$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{6 x^{2}}{2 x^{3} - 3} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x^{3} - 3$ . Allora $d u = 6 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{6 x^{2}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x^{3} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x^{3} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} - 3$ .

$\ln (| 2 x^{3} - 3 |) + C$