Calcolo Esempi

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché $6$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- \frac{1}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Passaggio 4.3

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ e $2$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Passaggio 4.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${u_{2}}^{2}$ .

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Passaggio 7

Dividi ${u_{2}}^{2}$ per $2 u_{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Passaggio 7.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo ${u_{2}}^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 u_{2}$ .

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Passaggio 7.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

Passaggio 7.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u^{2} + \frac{u}{2}$

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

Passaggio 7.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

Passaggio 7.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Passaggio 7.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{u_{2}}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 u_{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Passaggio 7.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Passaggio 7.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Passaggio 7.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Passaggio 7.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 12.2

$u_{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Passaggio 14

Sia $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Allora $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sia $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Differenzia $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Passaggio 14.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 u_{2} + 1$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 14.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 14.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 14.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 14.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 14.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Passaggio 15.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 17.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 18

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Passaggio 19

Semplifica.

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

Passaggio 20

Riordina i termini.

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Passaggio 21

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Passaggio 21.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 u_{2} + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 21.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 21.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 21.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.2

Combina i termini opposti in $2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.3.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.3.4

Elimina il fattore comune.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.3.5

Riscrivi l'espressione.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.4

Moltiplica $\frac{- 1}{2}$ per $\frac{x}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Passaggio 22.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 22.8

Combina i termini opposti in $2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.8.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 22.8.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 22.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.9.1

Elimina il fattore comune.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 22.9.2

Riscrivi l'espressione.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.10.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.2

Combina i termini opposti in $2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.10.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.10.3.1

Elimina il fattore comune.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.4

$\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 22.10.5

$\frac{1}{8}$ e $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.11

Per scrivere $\frac{x^{2}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.12.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.12.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.14

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Passaggio 22.15

Applica la proprietà distributiva.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.16

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{4}$ nel numeratore.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.16.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.16.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.16.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.17

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.18

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.18.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Passaggio 22.18.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 22.18.3

Elimina il fattore comune.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 22.18.4

Riscrivi l'espressione.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 22.19

$3$ e $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.20

Per scrivere $- 3 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.21

$- 3 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.23.1

Scomponi $3$ da $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.23.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.23.1.2

Scomponi $3$ da $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.23.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.24

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.25

Scomponi $- 1$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.26

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 22.27

Scomponi $- 1$ da $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Passaggio 22.28

Scomponi $- 1$ da $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Passaggio 22.29

Riscrivi $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ come $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Passaggio 22.30

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 23

Riordina i termini.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$