Calcolo Esempi

$\int \frac{x \sin (\sqrt{x^{2} + 4})}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2} + 4$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Passaggio 4.3

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 4.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 5.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica.

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Passaggio 5.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 4$ .

$- \cos ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$