Calcolo Esempi

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Allora $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$