Calcolo Esempi

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ come $- u + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u + 1}$ come ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{2}$ e $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.5

$\sqrt{u}$ e $\frac{- 5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

Passaggio 2.6

Sposta $- 5$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Passaggio 5.2

Riordina $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Passaggio 5.3

Riordina $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.4

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $u$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.5

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.9

Somma $1$ e $2$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.10

Moltiplica $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.11

Riordina $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6

Riscrivi $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ come $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 10

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 14.3

Riordina i termini.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{5}{3}$ e ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 16.2

Per scrivere $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 16.3

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Passaggio 16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 16.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$