Calcolo Esempi

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

$\frac{1}{3}$ e $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , quindi $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = {u_{2}}^{2}$ e $d v = e^{3 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5.2

${u_{2}}^{2}$ e $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 7.2

$\frac{e^{u_{3}}}{3}$ e $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ come $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9.3.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ e $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9.3.4

$e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9.3.5

${u_{2}}^{2}$ e $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

Passaggio 9.3.6

Sottrai $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ da $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ .

$0 + C$

Passaggio 9.3.7

Somma $0$ e $C$ .

$C$