Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Allora $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + e^{2 x} |) + C$