Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $\sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Passaggio 2.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Passaggio 2.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Passaggio 2.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Passaggio 2.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Passaggio 2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Passaggio 2.7.5

Semplifica.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot 2 d u_{2}$

Passaggio 7.1.3

$\frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}} \cdot 2}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.4.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 7.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ come $1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.3

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

${(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{x}{1})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + C$