Calcolo Esempi

$\int (- 12 x - 1) \sqrt{- 6 x^{2} - x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - 6 x^{2} - x + 1$ . Allora $d u = (- 12 x - 1) d x$ , quindi $\frac{1}{- 12 x - 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - 6 x^{2} - x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 6 x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2} - x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{2} - x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 12 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 12 x - 1 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 12 x - 1$ e $0$ .

$- 12 x - 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 6 x^{2} - x + 1$ .

$\frac{2}{3} {(- 6 x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$