Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 - \cos (x)$ . Allora $d u = \sin (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 - \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Passaggio 4.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$