Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Passaggio 2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(u - 1)}^{2}$ come $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 2.5

Riordina $u$ e $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Passaggio 7

Sottrai $1 u$ da $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Passaggio 8

Dividi $u^{2} - 2 u + 1$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Passaggio 8.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Passaggio 8.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Passaggio 8.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Passaggio 8.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Passaggio 8.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Passaggio 8.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 u$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Passaggio 8.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Passaggio 8.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Passaggio 8.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Passaggio 8.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$