Calcolo Esempi

$\int \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Allora $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

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Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 2.1.5.2.2

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 u^{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int u^{2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 5.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} + C$