Calcolo Esempi

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 x + 2$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ e $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , quindi $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- \frac{2}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u_{2}$

Passaggio 6.3

Sposta $3$ alla sinistra di ${u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int 3 {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (3 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

Sia $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Allora $d u_{3} = 3 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $3 u_{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2} + 2]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 u_{2} + 2$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 9.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $3 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 9.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 9.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Passaggio 9.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 9.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 10.2

$\frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} d u_{3}$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ come $(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 12.2