Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Passaggio 2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$u - \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$