Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{20}$ come ${(x^{10})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{10}$ . Allora $d u = 10 x^{9} d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{10}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$10 x^{9}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + u^{2}}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $10$ alla sinistra di $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{10}$ .

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$