Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.5

$3$ e $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.6

$\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.7

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.8

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.10

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.12

Converti da $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ a $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (t)$ come $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$- t - \cot (t) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$