Calcolo Esempi

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Passaggio 2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Passaggio 2.4

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u^{2}$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Passaggio 9

Riscrivi $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ come $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$