Calcolo Esempi

$\int \frac{{(3 + e^{x})}^{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $- d u = - e^{x} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{3} {(3 + e^{x})}^{3} + C$