Calcolo Esempi

$\int (x^{2} - 1) \sqrt{2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- \frac{1}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int ({u_{2}}^{2} - 1) {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Sia $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Allora $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 u_{2} + 1$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ come $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$\int ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Passaggio 6.2